(x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz = 0

(x+y+z) ( (x+y)^2 +z^2 -z(x+y) -3xy) =0

(x+y+z) ( x^2+ 2xy+y^2 +z^2- zx-zy-3xy)=0

(x+y+z) ( x^2+y^2+z^2 -zx-zy -xy)=0

Suy ra x+y+z =0 

x+y = -z

y+z = -x

x+z = -y

B = -16 + (-3) +2038 = 2019

Ta có: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\left(x,y,z\ne0\right)\)

+) x + y + z = 0 \(\Rightarrow B=\frac{-16z}{z}+\frac{-3x}{x}-\frac{-2038y}{y}\)

\(=-16-3+2038=2019\)

+) x = y = z \(\Rightarrow B=\frac{16.2z}{z}+\frac{3.2x}{x}-\frac{2038.2y}{y}\)

\(=32+6-4076=-4038\)

Cho em hỏi chút ạ, trường hợp  x=y=z suy ra ntn ạ?

Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{16}{\sqrt{x-6}}+\sqrt{x-6}\ge2\sqrt{16}=8\)

\(\frac{4}{\sqrt{y-2}}+\sqrt{y-2}\ge2\sqrt{4}=4\)

\(\frac{256}{\sqrt{z-1750}}+\sqrt{z-1750}\ge2\sqrt{256}=32\)

Cộng theo vế ta được \(LHS\ge4+8+32=44\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ...

anh tự xét dấu = đi

dcv_new Mơn nhìu nha ^_^

@dcv_new điều kiện x,y của bạn ở đâu?

ĐK: x>6; y>2 và z>1750

ta có \(\frac{16}{\sqrt{x-6}}-2\frac{4}{\sqrt{x-6}}\sqrt{x-6}+\frac{x-6}{\sqrt{x-6}}=\frac{\left(4-\sqrt{x-6}\right)^2}{\sqrt{x-6}}\)

đẳng thức đã cho tương đương với

\(\frac{\left(4-\sqrt{x-6}\right)^2}{\sqrt{x-6}}+\frac{\left(2-\sqrt{y-2}\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(16-\sqrt{z-1750}\right)^2}{\sqrt{z-1750}}=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{z-6}=4\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-1750}=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=22\\y=6\\z=2006\end{cases}}}\)

vậy (x;y;z)=(22;6;2006)

Trước tiên chứng minh:

\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Áp dụng bài toán được

\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)

Lời giải:

$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0$

$\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0$

$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0$

Đến đây xét 2TH:

TH1: $x+y+z=0$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z\\ y+z=-x\\ x+z=-y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=-16+(-3)+(-2038)=-2057\)

TH2: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0$

$\Rightarrow (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

$\Rightarrow x=y=z$ (vô lý vì $x,y,z$ đôi một khác nhau)

Vậy.......

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

- Nếu \(x+y+z=0\Rightarrow B=\frac{-16z}{z}-\frac{3x}{x}-\frac{2038y}{y}=...\)

- Nếu \(x=y=z\Rightarrow B=\frac{16.2z}{z}+\frac{3.2x}{x}+\frac{2038.2y}{y}=...\)